Giải Luyện tập 2 trang 67 SGK Toán 12

Lời giải

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên theo định nghĩa ta có:
$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B),$$
do đó $P(A\,|\,B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)$ (với $P(B) > 0$).

a) Chứng minh $P(\overline{A}\,|\,B) = P(\overline{A})$.

Với điều kiện đã xảy ra biến cố $B$, hai biến cố $A$ và $\overline{A}$ là hai biến cố đối nhau, nên:
$$P(A\,|\,B) + P(\overline{A}\,|\,B) = 1.$$
Suy ra
$$P(\overline{A}\,|\,B) = 1 - P(A\,|\,B).$$
Do $A$ và $B$ độc lập nên $P(A\,|\,B) = P(A)$. Vì vậy
$$P(\overline{A}\,|\,B) = 1 - P(A) = P(\overline{A}).$$
Vậy $P(\overline{A}\,|\,B) = P(\overline{A})$ (đpcm).

b) Chứng minh $P(A\,|\,\overline{B}) = P(A)$.

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện (với $P(\overline{B}) > 0$):
$$P(A\,|\,\overline{B}) = \dfrac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}.$$
Ta tính $P(A \cap \overline{B})$. Vì $A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ và hai biến cố này xung khắc nên:
$$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B).$$
Do $A$ và $B$ độc lập, $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$, nên:
$$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A)\,P(B) = P(A)\big(1 - P(B)\big) = P(A)\,P(\overline{B}).$$
Thay vào, ta được:
$$P(A\,|\,\overline{B}) = \dfrac{P(A)\,P(\overline{B})}{P(\overline{B})} = P(A).$$
Vậy $P(A\,|\,\overline{B}) = P(A)$ (đpcm).

Nhận xét. Kết quả cho thấy nếu $A$ và $B$ độc lập thì $A$ cũng độc lập với $\overline{B}$, và $\overline{A}$ độc lập với $B$ — việc $B$ (hay $\overline{B}$) xảy ra hay không đều không làm thay đổi xác suất của $A$ (hay $\overline{A}$).

Đáp số