Giải Vận dụng trang 19 SGK Toán 12

Lời giải

a) Số người tối đa bị nhiễm bệnh

Xét $N(t) = -t^3 + 12t^2$ trên $[0;12]$.

Đạo hàm: $N'(t) = -3t^2 + 24t = -3t(t-8)$.

$N'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$ hoặc $t = 8$ (đều thuộc $[0;12]$).

Tính giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút:
- $N(0) = 0$
- $N(8) = -512 + 768 = 256$
- $N(12) = -1728 + 1728 = 0$

Vậy $\max\limits_{[0;12]} N(t) = N(8) = 256$ (trăm người).

Số người tối đa bị nhiễm bệnh là $256$ trăm người $= 25\,600$ người, đạt được ở tuần thứ $8$.

b) Virus lây lan nhanh nhất khi nào?

Tốc độ lây lan là $g(t) = N'(t) = -3t^2 + 24t$ trên $[0;12]$. Cần tìm giá trị lớn nhất của $g(t)$.

$g'(t) = N''(t) = -6t + 24$; $g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in [0;12]$.

Tính giá trị:
- $g(0) = 0$
- $g(4) = -48 + 96 = 48$
- $g(12) = -432 + 288 = -144$

Vậy $\max\limits_{[0;12]} g(t) = g(4) = 48$ (trăm người/tuần) $= 4\,800$ người/tuần.

Virus lây lan nhanh nhất ở tuần thứ $4$.

Đáp số