Giải Bài 1.44 trang 45 SGK Toán 12

Lời giải

a) Viết công thức $q = g(p)$

Từ hệ thức $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}$, ta rút ra:

$$\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{p - f}{fp}.$$

Vì $p \in (f; +\infty)$ nên $p - f > 0$, suy ra:

$$q = g(p) = \dfrac{fp}{p - f}, \quad p \in (f; +\infty).$$

b) Tính các giới hạn

*Giới hạn khi $p \to +\infty$:*

$$\lim_{p\to+\infty} g(p) = \lim_{p\to+\infty} \dfrac{fp}{p-f} = \lim_{p\to+\infty} \dfrac{f}{1 - \dfrac{f}{p}} = f.$$

*Ý nghĩa:* Khi vật ở rất xa thấu kính ($p$ càng lớn) thì ảnh được tạo ra càng gần tiêu điểm $F'$, tức khoảng cách $q$ từ ảnh đến thấu kính tiến dần tới tiêu cự $f$.

*Giới hạn khi $p \to f^+$:*

Khi $p \to f^+$ thì tử số $fp \to f^2 > 0$ còn mẫu số $p - f \to 0^+$, do đó:

$$\lim_{p\to f^+} g(p) = \lim_{p\to f^+} \dfrac{fp}{p-f} = +\infty.$$

*Ý nghĩa:* Khi vật tiến lại gần tiêu điểm $F$ (khoảng cách $p$ gần bằng tiêu cự $f$) thì ảnh lùi ra xa vô tận, tức khoảng cách $q$ từ ảnh đến thấu kính tăng lên vô hạn.

c) Lập bảng biến thiên trên $(f; +\infty)$

Đạo hàm của $g(p) = \dfrac{fp}{p-f}$:

$$g'(p) = \dfrac{f(p-f) - fp\cdot 1}{(p-f)^2} = \dfrac{fp - f^2 - fp}{(p-f)^2} = \dfrac{-f^2}{(p-f)^2}.$$

Vì $f^2 > 0$ và $(p-f)^2 > 0$ với mọi $p \in (f; +\infty)$ nên $g'(p) < 0$ trên khoảng đó. Vậy hàm số $q = g(p)$ nghịch biến trên $(f; +\infty)$.

Kết hợp hai giới hạn ở câu b), ta có bảng biến thiên:

| $p$ | $f$ $\qquad\qquad\qquad$ $+\infty$ |
|---|---|
| $g'(p)$ | $\quad\;\; -$ |
| $g(p)$ | $+\infty \;\searrow\; f$ |

Hàm số $q = g(p)$ giảm liên tục từ $+\infty$ (khi $p \to f^+$) xuống đến giá trị $f$ (khi $p \to +\infty$), nhưng không đạt giá trị $f$; tập giá trị là $(f; +\infty)$.

Đáp số