Giải Bài 1.45 trang 45 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Ước tính dân số năm 2030 và 2035

Mốc thời gian tính từ năm 2023, nên:
- Năm 2030 ứng với $t = 2030 - 2023 = 7$;
- Năm 2035 ứng với $t = 2035 - 2023 = 12$.

Thay vào công thức $N(t) = 100e^{0,012t}$:

$$N(7) = 100e^{0,012 \cdot 7} = 100e^{0,084} \approx 108,763 \text{ (triệu người)}.$$

$$N(12) = 100e^{0,012 \cdot 12} = 100e^{0,144} \approx 115,488 \text{ (triệu người)}.$$

Vậy dân số ước tính năm 2030 khoảng $108,763$ triệu người và năm 2035 khoảng $115,488$ triệu người.

## b) Xét chiều biến thiên của $N(t)$ trên $[0;50]$

Ta có đạo hàm:

$$N'(t) = 100 \cdot 0,012 \cdot e^{0,012t} = 1,2\,e^{0,012t}.$$

Vì $e^{0,012t} > 0$ với mọi $t$ nên $N'(t) = 1,2\,e^{0,012t} > 0$ với mọi $t \in [0;50]$.

Do đó hàm số $N(t)$ đồng biến (tăng) trên đoạn $[0;50]$. Điều này phù hợp thực tế: dân số của quốc gia tăng dần theo thời gian.

## c) Năm mà tốc độ tăng dân số bằng 1,6 triệu người/năm

Tốc độ tăng dân số chính là đạo hàm $N'(t) = 1,2\,e^{0,012t}$. Ta giải phương trình:

$$1,2\,e^{0,012t} = 1,6.$$

$$e^{0,012t} = \dfrac{1,6}{1,2} = \dfrac{4}{3}.$$

Lấy logarit tự nhiên hai vế:

$$0,012t = \ln\dfrac{4}{3} \approx 0,287682.$$

$$t = \dfrac{\ln\frac{4}{3}}{0,012} \approx 23,97 \;(\text{thỏa mãn } 0 \le t \le 50).$$

Vậy sau khoảng $23,97$ năm kể từ năm 2023, tức là vào khoảng năm $2023 + 24 = 2047$, tốc độ tăng dân số của quốc gia đó đạt $1,6$ triệu người/năm.

Đáp số