Giải Bài 1.15 trang 20 SGK Toán 12
Đề bài
Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1 000 cm$^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm$^2$, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm$^2$. Tìm các kích thước của bình (bán kính đáy và chiều cao của bình) để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi r (cm) là bán kính đáy, h (cm) là chiều cao, r>0, h>0. Thể tích: πr²h = 1000 ⇒ h = 1000/(πr²). Chi phí (nghìn đồng): hai đáy 1,2·2πr² = 2,4πr²; mặt bên 0,75·2πrh = 1,5πrh. Thay h: C(r) = 2,4πr² + 1500/r, r>0. C'(r) = 4,8πr − 1500/r² = 0 ⇔ r³ = 1500/(4,8π) = 312,5/π ⇒ r = ∛(312,5/π) ≈ 4,633 cm. C'(r) < 0 trên (0; r₀), C'(r) > 0 trên (r₀; +∞) nên C đạt GTNN tại r₀. Khi đó πr³ = 312,5 nên h = 1000/(πr²) = 1000r/312,5 = 3,2r ≈ 3,2·4,633 ≈ 14,83 cm. Chi phí nhỏ nhất C ≈ 2,4π·(4,633)² + 1500/4,633 ≈ 161,9 + 323,7 ≈ 485,6 nghìn đồng.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.