Giải Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 12

Lời giải

a) Chứng minh $kF(x)$ là một nguyên hàm của $kf(x)$ trên $K$.

Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nên $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$.

Xét hàm số $kF(x)$. Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích một hằng số với một hàm số, ta có:
$$\big(kF(x)\big)' = k\,F'(x) = k\,f(x),\quad \forall x\in K.$$

Vậy $kF(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $kf(x)$ trên $K$ (đpcm).

b) Nhận xét về $\displaystyle\int kf(x)\,\mathrm{d}x$ và $\displaystyle k\int f(x)\,\mathrm{d}x$.

Theo câu a), họ nguyên hàm của $kf(x)$ là:
$$\int kf(x)\,\mathrm{d}x = kF(x)+C.$$

Mặt khác, với $k\neq 0$:
$$k\int f(x)\,\mathrm{d}x = k\big(F(x)+C_1\big) = kF(x)+kC_1.$$

Do $C$ và $kC_1$ đều là hằng số tùy ý nên hai họ nguyên hàm trên trùng nhau. Vậy:
$$\boxed{\int kf(x)\,\mathrm{d}x = k\int f(x)\,\mathrm{d}x \quad (k\neq 0).}$$

Nghĩa là: có thể đưa hằng số khác 0 ra ngoài dấu nguyên hàm.

Đáp số