Giải Luyện tập 3 trang 8 SGK Toán 12
Đề bài
Cho hàm số $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$).
a) Chứng minh rằng hàm số $F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Từ đó tìm $\int x^n\,dx$.
b) Từ kết quả câu a, tìm $\int kx^n\,dx$ ($k$ là hằng số khác 0).
Lời giải
a) Chứng minh $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của $f(x)=x^n$ và tìm $\int x^n\,dx$.
Ta tính đạo hàm của $F(x)$ với $x\in\mathbb{R}$:
$$F'(x)=\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=\dfrac{1}{n+1}\cdot(n+1)x^{n}=x^{n}=f(x).$$
Vì $F'(x)=f(x)$ với mọi $x$ nên $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của $f(x)=x^{n}$ (đpcm).
Do đó, họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)=x^n$ là:
$$\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C.$$
b) Tìm $\int kx^{n}\,dx$ ($k$ là hằng số khác $0$).
Áp dụng tính chất đưa hằng số ra ngoài dấu nguyên hàm và kết quả câu a):
$$\int kx^{n}\,dx=k\int x^{n}\,dx=k\cdot\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C=\dfrac{k\,x^{n+1}}{n+1}+C.$$
Kiểm tra: $\left(\dfrac{k\,x^{n+1}}{n+1}+C\right)'=\dfrac{k}{n+1}\cdot(n+1)x^{n}=kx^{n}$ (đúng).
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.