Giải Hoạt động 2 trang 8 SGK Toán 12
Đề bài
Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Xét hàm số $y = \begin{cases} -x & \text{nếu } x < -1 \\ 1 & \text{nếu } -1 \le x \le 1 \\ x & \text{nếu } x > 1 \end{cases}$ có đồ thị như Hình 1.6.
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng $(-\infty; -1)$, $(1; +\infty)$. Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm $y'$ và hàm số $y$ trên khoảng $(-1; 1)$?
Mô tả hình bằng lời
Hình 1.6: Đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Với $x < -1$, đồ thị là đường thẳng $y = -x$ đi xuống (ví dụ qua điểm $(-3; 3)$, $(-1; 1)$). Với $-1 \le x \le 1$, đồ thị là đoạn thẳng nằm ngang $y = 1$ (từ điểm $(-1; 1)$ đến $(1; 1)$). Với $x > 1$, đồ thị là đường thẳng $y = x$ đi lên (qua $(1; 1)$, $(3; 3)$). Trục tung có các vạch 1, 2, 3; trục hoành có các vạch $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$. Có các đường nét đứt thẳng đứng tại $x = -1$ và $x = 1$.
Lời giải
a) Trên khoảng $(-\infty;-1)$: hàm số là $y=-x$ nên $y'=-1<0$ với mọi $x\in(-\infty;-1)$; đồ thị là đường thẳng đi xuống, hàm số nghịch biến trên khoảng này. Trên khoảng $(1;+\infty)$: hàm số là $y=x$ nên $y'=1>0$ với mọi $x\in(1;+\infty)$; đồ thị là đường thẳng đi lên, hàm số đồng biến trên khoảng này. Nhận xét: trên khoảng mà $y'>0$ thì hàm số đồng biến, trên khoảng mà $y'<0$ thì hàm số nghịch biến — dấu của đạo hàm phản ánh tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
b) Trên khoảng $(-1;1)$: hàm số là hàm hằng $y=1$ nên $y'=0$ với mọi $x\in(-1;1)$; đồ thị là đoạn thẳng nằm ngang, hàm số không đổi trên khoảng này (không đồng biến, không nghịch biến).
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.