Giải Hoạt động 3 trang 24 SGK Toán 12
Đề bài
Nhận biết đường tiệm cận xiên
Cho hàm số $y = f(x) = x - 1 + \dfrac{2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $y = x - 1$ như Hình 1.24.
a) Với $x > -1$, xét điểm $M(x; f(x))$ thuộc $(C)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $y = x - 1$. Có nhận xét gì về khoảng cách $MH$ khi $x \to +\infty$?
b) Chứng tỏ rằng $\lim\limits_{x \to +\infty} \left[ f(x) - (x-1) \right] = 0$. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?
Mô tả hình bằng lời
Hình 1.24: Đồ thị (C) của hàm số $y = f(x) = x - 1 + \dfrac{2}{x+1}$ gồm hai nhánh, có đường tiệm cận đứng $x = -1$ (đường nét đứt thẳng đứng) và đường thẳng tiệm cận xiên $y = x - 1$ (đường thẳng đi qua gốc lệch, cắt trục tung tại $-1$). Điểm $M$ nằm trên nhánh phải của đồ thị, $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $y = x - 1$; khi $x \to +\infty$ nhánh đồ thị tiến sát đường thẳng $y = x - 1$.
Lời giải
a) Điểm M(x; f(x)) thuộc (C) với x > -1. Viết đường thẳng dạng x - y - 1 = 0. Khoảng cách từ M đến đường thẳng chính là MH (hình chiếu vuông góc):
MH = |x - f(x) - 1| / √(1² + (-1)²).
Ta có: x - f(x) - 1 = x - (x - 1 + 2/(x+1)) - 1 = -2/(x+1).
Vì x > -1 nên x + 1 > 0, do đó:
MH = |−2/(x+1)| / √2 = 2/[(x+1)√2] = √2/(x+1).
Khi x → +∞ thì √2/(x+1) → 0, suy ra MH → 0.
Nhận xét: Khoảng cách MH dần về 0 khi x → +∞, nghĩa là điểm M trên đồ thị (C) ngày càng tiến sát đường thẳng y = x - 1.
b) Ta có: f(x) - (x - 1) = (x - 1 + 2/(x+1)) - (x - 1) = 2/(x+1).
Do đó: lim_{x→+∞} [f(x) - (x-1)] = lim_{x→+∞} 2/(x+1) = 0 (đpcm).
Thể hiện trên Hình 1.24: Hiệu tung độ giữa điểm trên (C) và điểm cùng hoành độ trên đường thẳng y = x - 1 dần về 0, nên nhánh phải của đồ thị (C) tiến sát (áp sát) đường thẳng y = x - 1 mà không cắt nó. Đường thẳng y = x - 1 được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị (C).
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.