Giải Luyện tập 3 trang 25 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích hàm số. Ta viết lại $f(x)$ bằng cách chia tử cho mẫu:

$$\frac{x^2-4x+2}{1-x} = -x+3 + \frac{-1}{1-x} = -x+3+\frac{1}{x-1}.$$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

a) Tiệm cận đứng.

Tại $x=1$ mẫu số $1-x=0$ còn tử số $x^2-4x+2=1-4+2=-1\neq 0$. Xét giới hạn một phía:

$$\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}\Big(-x+3+\frac{1}{x-1}\Big)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=-\infty.$$

Vậy đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

b) Tiệm cận xiên.

Giả sử tiệm cận xiên có dạng $y=ax+b$.

- Hệ số $a$:
$$a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2-4x+2}{x(1-x)}=-1.$$

- Hệ số $b$:
$$b=\lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-ax\big)=\lim_{x\to +\infty}\Big(\frac{x^2-4x+2}{1-x}+x\Big)=\lim_{x\to +\infty}\frac{-3x+2}{1-x}=3.$$

(Khi $x\to -\infty$ cũng cho $a=-1,\ b=3$.)

Vậy đường thẳng $y=-x+3$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

Kiểm tra: Từ $f(x)=(-x+3)+\dfrac{1}{x-1}$ ta có $f(x)-(-x+3)=\dfrac{1}{x-1}\to 0$ khi $x\to\pm\infty$, khẳng định $y=-x+3$ là tiệm cận xiên (phù hợp kết quả trên).

Đáp số