Giải Bài 1.46 trang 45 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập hàm chi phí

Gọi $BM = x$ (km) là khoảng cách từ chân đường thẳng góc $B$ đến điểm nối $M$, với điều kiện $0 \le x \le 10$.

- Đoạn dây trên đất liền là $AM = AB - BM = 10 - x$ (km).
- Tam giác $CBM$ vuông tại $B$ nên đoạn dây trên biển (từ $M$ ra đảo $C$) là:
$$MC = \sqrt{BM^2 + CB^2} = \sqrt{x^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + 16}\ \text{(km)}.$$

Tổng chi phí lắp đặt (đơn vị: triệu đồng) là:
$$T(x) = 30\,(10 - x) + 50\,\sqrt{x^2 + 16}, \qquad 0 \le x \le 10.$$

Tìm giá trị nhỏ nhất bằng đạo hàm

Ta có:
$$T'(x) = -30 + 50 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}.$$

Cho $T'(x) = 0$:
$$50 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} = 30 \;\Leftrightarrow\; 5x = 3\sqrt{x^2 + 16}.$$

Vì $x \ge 0$, bình phương hai vế:
$$25x^2 = 9(x^2 + 16) \;\Leftrightarrow\; 16x^2 = 144 \;\Leftrightarrow\; x^2 = 9 \;\Leftrightarrow\; x = 3\ (\text{do } x \ge 0).$$

So sánh giá trị

Ta tính giá trị của $T(x)$ tại điểm dừng $x = 3$ và tại hai đầu mút $x = 0,\ x = 10$:

$$T(0) = 30\cdot 10 + 50\sqrt{16} = 300 + 200 = 500.$$
$$T(3) = 30\,(10 - 3) + 50\sqrt{9 + 16} = 210 + 50\cdot 5 = 210 + 250 = 460.$$
$$T(10) = 30\cdot 0 + 50\sqrt{116} \approx 538{,}5.$$

Giá trị nhỏ nhất của $T(x)$ trên đoạn $[0; 10]$ là $460$ (triệu đồng), đạt được khi $x = 3$.

Kết luận

Điểm $M$ phải nằm cách $B$ một khoảng $BM = 3$ km (tức cách $A$ một khoảng $AM = 7$ km) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất, bằng $460$ triệu đồng.

Đáp số