Giải Luyện tập 2 trang 49 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Vectơ bằng $\overrightarrow{AB}$

Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. Xét ba vectơ đã cho:

- $\overrightarrow{AD}$ có phương của cạnh $AD$, khác phương với $\overrightarrow{AB}$ (hai cạnh kề của hình bình hành) nên $\overrightarrow{AD} \ne \overrightarrow{AB}$.
- $\overrightarrow{SC}$ có điểm đầu $S$ nằm ngoài mặt phẳng đáy, không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{SC} \ne \overrightarrow{AB}$.
- $\overrightarrow{DC}$: vì $ABCD$ là hình bình hành nên $DC \parallel AB$ và $|DC| = |AB|$; hơn nữa $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ (đều đi từ cạnh $AD$ sang cạnh $BC$).

Vậy
$$\boxed{\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}.}$$

## b) Xác định điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB}$

Điểm $M$ thuộc cạnh $AD$, đặt $\overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{AD}$ với $t \in [0;1]$.

Dự đoán: $N$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AM}$.

Kiểm tra: Với điểm $N$ đó, dùng quy tắc chèn điểm:
$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}.$$

Đúng như yêu cầu. Ngoài ra, khi đó tứ giác $ABNM$ có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN}$ nên là hình bình hành.

Vì $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{AD} = t\,\overrightarrow{BC}$, tức $N$ thật sự nằm trên cạnh $BC$ với $BN = AM$.

Vậy $N$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AM}$ (tức $BN = AM$).

*Nhận xét:* Phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AB}$ biến $A \to B$, $D \to C$, nên biến mỗi điểm $M$ trên $AD$ thành điểm $N$ tương ứng trên $BC$ với $BN = AM$.

Đáp số