Giải Hoạt động 4 trang 51 SGK Toán 12

Lời giải

a) Xét mặt $ABCD$ của hình hộp. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên áp dụng quy tắc hình bình hành cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ (cùng chung điểm đầu $A$, với $AC$ là đường chéo):
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$$
Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng nhau.

b) Ta có $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên các cạnh bên bằng nhau và song song, do đó $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{CC'}$.

Sử dụng kết quả câu a):
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right) + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'}.$$
Thay $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{CC'}$ và áp dụng quy tắc ba điểm $A, C, C'$:
$$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}.$$
Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{AC'}$ bằng nhau.

*Nhận xét (quy tắc hình hộp):* Với ba vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA'}$ có chung điểm đầu $A$ và là ba cạnh của hình hộp, ta luôn có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$, trong đó $AC'$ là đường chéo của hình hộp.

Đáp số