Giải Luyện tập 5 trang 51 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên các mặt là hình chữ nhật; ta sẽ dùng quy tắc ba điểm và tính chất của các cạnh song song bằng nhau.

a) Nhóm hai vectơ nằm trong đáy $ABCD$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD \parallel BC$ và $AD = BC$, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng, do đó:
$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.$$

Khi đó, theo quy tắc ba điểm:
$$\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD}.$$

b) Cộng thêm $\overrightarrow{BB'}$ và dùng cạnh bên.

Vậy vế trái trở thành:
$$\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BD}.$$

Mặt khác, do $BDD'B'$ là hình chữ nhật (mặt bên) nên $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{DD'}$, suy ra $\overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{BD}$. Áp dụng quy tắc ba điểm cho $B, B', D'$:
$$\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{BD'}.$$

Kết luận.
$$\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD'}. \qquad \text{(đpcm)}$$

Kiểm tra bằng tọa độ. Chọn $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;b;0)$, $D(0;b;0)$, các đỉnh phẩy thêm chiều cao $h$. Khi đó $\overrightarrow{BB'}=(0;0;h)$, $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$, $\overrightarrow{AD}=(0;b;0)$, tổng bằng $(-a;b;h)$. Còn $\overrightarrow{BD'}=(0;b;h)-(a;0;0)=(-a;b;h)$. Hai vectơ trùng nhau, khẳng định đúng.

Đáp số