Giải Luyện tập 6 trang 53 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành; $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$.

a) Chứng minh $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{DM}$ là hai vectơ đối nhau.

- Vì $M$ là trung điểm của $AD$ nên $\overrightarrow{DM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}$.
- Vì $N$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{BN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
- Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{DA}$.

Suy ra
$$\overrightarrow{BN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{DM}.$$

Vậy $\overrightarrow{BN} = -\overrightarrow{DM}$, tức $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{DM}$ là hai vectơ đối nhau (đpcm).

b) Chứng minh $\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SC}$.

Từ câu a) ta có $\overrightarrow{BN} = -\overrightarrow{DM}$, nên $-\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{DM}$. Do đó
$$\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{CM}.$$

Áp dụng quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{SD} + \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{SM}$. Vậy
$$\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SM} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SM} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{SC}.$$

Vậy $\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SC}$ (đpcm).

Đáp số