Giải Hoạt động 6 trang 53 SGK Toán 12
Đề bài
Hình thành khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ (H.2.17).
a) Hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{B'C'}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?
b) Giải thích vì sao $\left|\overrightarrow{MN}\right| = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{B'C'}\right|$.
Mô tả hình bằng lời
Hình 2.17: hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ với đáy trên là tam giác $ABC$ (A ở trái, C ở phải, B ở giữa phía sau) và đáy dưới là tam giác $A'B'C'$ (A' trái, C' phải, B' giữa phía trước). M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh AC; đoạn MN được vẽ (mũi tên đỏ) song song với cạnh B'C' của đáy dưới (cũng vẽ mũi tên đỏ).
Lời giải
a) Xét tam giác $ABC$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Suy ra $MN \parallel BC$ và $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $BCC'B'$ là hình bình hành, do đó $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC}$.
Từ đó $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{B'C'}$.
Vậy hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{B'C'}$ cùng phương và cùng hướng (vì $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{B'C'}$ với hệ số $\dfrac{1}{2} > 0$).
b) Từ $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{B'C'}$, lấy độ dài hai vế ta được:
$$\left|\overrightarrow{MN}\right| = \left|\dfrac{1}{2}\overrightarrow{B'C'}\right| = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{B'C'}\right|.$$
Giải thích cụ thể: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN = \dfrac{1}{2}BC$; mặt khác $B'C' = BC$ (hai cạnh đối của hình bình hành $BCC'B'$), do đó $\left|\overrightarrow{MN}\right| = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{B'C'}\right|$.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.