Giải Luyện tập 7 trang 54 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích $\overrightarrow{EF}$ theo $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$.

Vì $E$ thuộc cạnh $SA$ với $SE=\dfrac{1}{3}SA$ nên hai vectơ $\overrightarrow{SE}$ và $\overrightarrow{SA}$ cùng hướng, do đó:
$$\overrightarrow{SE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}.$$

Tương tự, $F$ thuộc cạnh $SB$ với $SF=\dfrac{1}{3}SB$ nên:
$$\overrightarrow{SF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}.$$

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ (chung điểm đầu $S$):
$$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$$

Sử dụng giả thiết hình bình hành.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$ và $AB=DC$; hơn nữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng, suy ra:
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

Kết luận.

Thay vào trên:
$$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}.$$

Vậy $\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}$ (đpcm).

Đáp số