Giải Luyện tập 8 trang 55 SGK Toán 12

Lời giải

Trong Ví dụ 8, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên ta có tính chất quen thuộc:

$$\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}.$$

Bước 1. Vì $I$ thuộc đoạn $AG$ và $\overrightarrow{AI} = 3\overrightarrow{IG}$ nên

$$\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{AI} = -3\overrightarrow{IG}.$$

Bước 2. Áp dụng quy tắc ba điểm để chèn điểm $G$ vào các vectơ $\overrightarrow{IB},\ \overrightarrow{IC},\ \overrightarrow{ID}$:

$$\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{GB},\quad \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{GC},\quad \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{GD}.$$

Cộng ba đẳng thức trên:

$$\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 3\overrightarrow{IG} + \left(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}\right) = 3\overrightarrow{IG} + \vec{0} = 3\overrightarrow{IG}.$$

Bước 3. Cộng thêm $\overrightarrow{IA}$ ở Bước 1:

$$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = -3\overrightarrow{IG} + 3\overrightarrow{IG} = \vec{0}.$$

Vậy $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \vec{0}$ (đpcm).

*Nhận xét:* Điểm $I$ chính là trọng tâm của tứ diện $ABCD$.

Đáp số