Giải Luyện tập 10 trang 58 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại Ví dụ 10. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA=SB=SC=SD=a$. Do đó bốn mặt bên $SAB,\;SBC,\;SCD,\;SDA$ đều là tam giác đều cạnh $a$, suy ra
$$\widehat{SAB}=\widehat{SAD}=60^\circ.$$
Từ đó, dùng định nghĩa tích vô hướng:
$$\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AS}|\,|\overrightarrow{AB}|\cos\widehat{SAB}=a\cdot a\cdot\cos 60^\circ=\dfrac{a^2}{2},$$
$$\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AS}|\,|\overrightarrow{AD}|\cos\widehat{SAD}=a\cdot a\cdot\cos 60^\circ=\dfrac{a^2}{2}.$$

a) Tính $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BD}$.

Phân tích $\overrightarrow{BD}$ theo hai vectơ chung gốc $A$:
$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.$$
Do đó
$$\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AS}\cdot\big(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\big)=\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{a^2}{2}=0.$$
Vậy $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BD}=0$ (điều này phù hợp vì $BD\perp AC$ và $BD\perp SO$ nên $BD\perp(SAC)$, kéo theo $BD\perp AS$).

b) Tính $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{CD}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. Do đó
$$\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AS}\cdot\big(-\overrightarrow{AB}\big)=-\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=-\dfrac{a^2}{2}.$$
Vậy $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{CD}=-\dfrac{a^2}{2}$.

Kiểm tra lại (bằng phân tích khác): với $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BD}$, do tam giác $ABD$ cân và tính đối xứng của hình chóp, $AS$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với $BD$, khẳng định kết quả $0$. Với $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{CD}$, góc $\widehat{SAB}=60^\circ$ cho $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{a^2}{2}$, đổi dấu do $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$, được $-\dfrac{a^2}{2}$. Hai đáp số nhất quán.

Đáp số