Giải Luyện tập 11 trang 58 SGK Toán 12

Lời giải

Đặt hệ vectơ cơ sở. Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên ba vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA'}$ đôi một vuông góc và có cùng độ dài bằng cạnh hình lập phương $a$. Do đó:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\qquad |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AA'}|=a.$$

Phân tích các vectơ cần xét theo cơ sở đó.

$$\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA'}.$$

$$\overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{B'A'}+\overrightarrow{A'D'}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.$$

(Ở đây dùng $\overrightarrow{A'D'}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{B'A'}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.)

Tính tích vô hướng.

$$\overrightarrow{A'C}\cdot\overrightarrow{B'D'}=\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA'}\big)\cdot\big(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\big).$$

Khai triển và dùng các tích vô hướng bằng $0$ ở trên:

$$=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AB}$$

$$=0-|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{AD}|^{2}-0-0+0=-a^{2}+a^{2}=0.$$

Vậy $\overrightarrow{A'C}\cdot\overrightarrow{B'D'}=0$ (đpcm). Điều này cũng cho thấy $A'C\perp B'D'$.

Đáp số