Giải Vận dụng 4 trang 58 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích công thức.

Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, ta có:
$$A = \vec{F} \cdot \overrightarrow{MN} = |\vec{F}| \cdot |\overrightarrow{MN}| \cdot \cos\left(\vec{F}, \overrightarrow{MN}\right).$$

Đặt $\varphi = \left(\vec{F}, \overrightarrow{MN}\right)$ là góc giữa lực $\vec{F}$ và hướng chuyển động $\overrightarrow{MN}$, với $0^\circ \le \varphi \le 180^\circ$. Khi đó:
$$A = |\vec{F}| \cdot |\overrightarrow{MN}| \cdot \cos\varphi.$$

a) Giải thích vì sao công sinh ra lớn nhất khi lực cùng hướng với chuyển động.

Vì dùng một lực có độ lớn không đổi làm vật di chuyển một quãng đường không đổi nên $|\vec{F}|$ và $|\overrightarrow{MN}|$ là các hằng số dương. Do đó công $A$ chỉ phụ thuộc vào $\cos\varphi$.

Với mọi góc $\varphi$ ta luôn có $\cos\varphi \le 1$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\varphi = 0^\circ$, tức là khi lực $\vec{F}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$. Suy ra:
$$A = |\vec{F}| \cdot |\overrightarrow{MN}| \cdot \cos\varphi \le |\vec{F}| \cdot |\overrightarrow{MN}|.$$

Vậy công $A$ đạt giá trị lớn nhất bằng $|\vec{F}| \cdot |\overrightarrow{MN}|$ khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật ($\varphi = 0^\circ$).

b) Áp dụng khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng.

Kết quả trên cho thấy: với cùng một độ lớn của lực, muốn công sinh ra (và do đó hiệu quả làm vật di chuyển) là lớn nhất thì nên tác dụng lực theo hướng trùng với hướng di chuyển của vật.

Khi kéo hoặc đẩy một vật nặng trên mặt phẳng nằm ngang, vật di chuyển theo phương ngang, nên ta nên kéo (hoặc đẩy) sao cho phương của lực càng gần với phương nằm ngang càng tốt (giảm góc chếch lên hoặc chúi xuống về $0^\circ$). Khi đó góc $\varphi$ giữa lực và hướng chuyển động nhỏ nhất, $\cos\varphi$ lớn nhất, nên với cùng một sức lực bỏ ra, công có ích để làm vật di chuyển sẽ lớn nhất, việc kéo/đẩy đạt hiệu quả cao nhất.

Đáp số