Giải Bài 2.2 trang 59 SGK Toán 12

Lời giải

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên các cạnh xuất phát từ mỗi đỉnh đôi một vuông góc, và ta có $AB = CD = 2$, $AD = BC = 3$, $AA' = BB' = 4$.

a) Tính $\left|\overrightarrow{BB'}\right|$

Độ dài vectơ $\overrightarrow{BB'}$ bằng độ dài cạnh bên $BB'$. Do các cạnh bên của hình hộp chữ nhật bằng nhau nên
$$\left|\overrightarrow{BB'}\right| = BB' = AA' = 4.$$

b) Tính $\left|\overrightarrow{BD}\right|$

$BD$ là đường chéo của hình chữ nhật đáy $ABCD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên tam giác $ABD$ vuông tại $A$, áp dụng định lí Pythagore:
$$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.$$
Vậy $\left|\overrightarrow{BD}\right| = \sqrt{13}$.

c) Tính $\left|\overrightarrow{BD'}\right|$

$BD'$ là đường chéo của hình hộp chữ nhật. Vì $DD' \perp (ABCD)$ nên $DD' \perp BD$, do đó tam giác $BDD'$ vuông tại $D$. Áp dụng định lí Pythagore với $DD' = AA' = 4$:
$$BD' = \sqrt{BD^2 + DD'^2} = \sqrt{\left(\sqrt{13}\right)^2 + 4^2} = \sqrt{13 + 16} = \sqrt{29}.$$
(Cách khác: $BD' = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA'^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.)

Vậy $\left|\overrightarrow{BD'}\right| = \sqrt{29}$.

Kiểm tra lại: $\sqrt{13} \approx 3{,}61$ và $\sqrt{29} \approx 5{,}39$; các giá trị đều dương và $BD' > BD > 0$, hợp lí với đường chéo không gian dài hơn đường chéo đáy.

Đáp số