Giải Bài 2.4 trang 59 SGK Toán 12

Lời giải

Nhận xét chung. Với hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ ta có các đẳng thức vectơ quen thuộc:

- Các cạnh bên bằng nhau: $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}$.
- Hai mặt $ABCD$ và $A'B'C'D'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D'C'}$, suy ra $\overrightarrow{C'D'}=-\overrightarrow{AB}$.

a) Ta có $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{C'D'}=-\overrightarrow{D'C'}=-\overrightarrow{AB}$. Do đó
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{C'D'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CC'}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CC'}.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{C'D'}=\overrightarrow{CC'}$ (đpcm).

b) Áp dụng quy tắc ba điểm cho $C,\,C',\,D'$: $\overrightarrow{CD'}=\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'D'}$, suy ra $\overrightarrow{CD'}-\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{C'D'}=-\overrightarrow{AB}$. Do đó
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD'}-\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C'D'}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\vec{0}.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD'}-\overrightarrow{CC'}=\vec{0}$ (đpcm).

c) Chọn ba vectơ cùng gốc $A$: $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA'}$. Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AA'}$ nên vế trái là
$$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA'}.$$
Mặt khác, theo quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành đáy:
$$\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AA'}+\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\big)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA'}.$$
So sánh hai kết quả ta được $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A'C}$ (đpcm).

Đáp số