Giải Hoạt động 5 trang 9 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Đạo hàm của $y = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ với $\alpha \neq -1$, $x > 0$

Áp dụng công thức đạo hàm hàm luỹ thừa $(x^{\mu})' = \mu\,x^{\mu-1}$ (đúng với mọi số mũ thực khi $x>0$), và lưu ý $\dfrac{1}{\alpha+1}$ là hằng số:

$$y' = \frac{1}{\alpha+1}\cdot\bigl(x^{\alpha+1}\bigr)' = \frac{1}{\alpha+1}\cdot(\alpha+1)\,x^{(\alpha+1)-1} = x^{\alpha}.$$

Vậy $\left(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right)' = x^{\alpha}$, tức $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ là một nguyên hàm của $x^{\alpha}$ trên khoảng $(0;+\infty)$ (khi $\alpha \neq -1$).

## b) Đạo hàm của $y = \ln|x|$ ($x \neq 0$)

Trường hợp $x > 0$: khi đó $|x| = x$ nên $y = \ln x$, do đó

$$y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}.$$

Trường hợp $x < 0$: khi đó $|x| = -x$ nên $y = \ln(-x)$. Đặt $u = -x$ thì $u' = -1$, áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$:

$$y' = \frac{(-x)'}{-x} = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}.$$

Kết luận: cả hai trường hợp đều cho

$$\bigl(\ln|x|\bigr)' = \frac{1}{x} \quad (x \neq 0),$$

nghĩa là $\ln|x|$ là một nguyên hàm của $\dfrac{1}{x}$ trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty)$ (ứng với trường hợp $\alpha = -1$).

Đáp số