Giải Hoạt động 6 trang 10 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tính đạo hàm

Áp dụng công thức đạo hàm các hàm lượng giác đã học:

- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
- $(\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$

Bảng kết quả:

| $F(x)$ | $\sin x$ | $\cos x$ | $\tan x$ | $\cot x$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $F'(x)$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $-\dfrac{1}{\sin^2 x}$ |

b) Tìm nguyên hàm

Vì nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm, ta suy ra từ câu a):

- Vì $(\sin x)' = \cos x$ nên $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$.
- Vì $(\cos x)' = -\sin x$ nên $(-\cos x)' = \sin x$, do đó $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.
- Vì $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ nên $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$.
- Vì $(\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$ nên $(-\cot x)' = \dfrac{1}{\sin^2 x}$, do đó $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$.

Bảng kết quả:

| $f(x)$ | $\cos x$ | $\sin x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\int f(x)\,dx$ | $\sin x + C$ | $-\cos x + C$ | $\tan x + C$ | $-\cot x + C$ |

Kiểm tra: Lấy đạo hàm mỗi nguyên hàm ở câu b) đều thu lại đúng hàm $f(x)$ tương ứng, phù hợp với kết quả câu a).

Đáp số