Giải Luyện tập 6 trang 10 SGK Toán 12

Lời giải

a) $\displaystyle\int (3\cos x - 4\sin x)\,dx$

Dùng tính chất tuyến tính của nguyên hàm và các công thức $\int\cos x\,dx=\sin x+C$, $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$:

$$\int (3\cos x - 4\sin x)\,dx = 3\int\cos x\,dx - 4\int\sin x\,dx = 3\sin x - 4(-\cos x)+C = 3\sin x + 4\cos x + C.$$

*Kiểm tra:* $(3\sin x + 4\cos x + C)' = 3\cos x - 4\sin x$ (đúng với hàm dưới dấu tích phân).

b) $\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{\cos^2 x} - \dfrac{1}{\sin^2 x}\right)dx$

Dùng các công thức $\int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tan x+C$ và $\int\dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\cot x+C$:

$$\int \left(\dfrac{1}{\cos^2 x} - \dfrac{1}{\sin^2 x}\right)dx = \int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx - \int\dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = \tan x - (-\cot x)+C = \tan x + \cot x + C.$$

*Kiểm tra:* $(\tan x + \cot x + C)' = \dfrac{1}{\cos^2 x} - \dfrac{1}{\sin^2 x}$ (đúng với hàm dưới dấu tích phân).

Đáp số