Giải Bài 4.1 trang 12 SGK Toán 12

Lời giải

a) Xét $F(x) = x\ln x$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Ta có $F$ khả vi trên $(0; +\infty)$ và theo quy tắc đạo hàm của một tích:
$$F'(x) = (x)'\cdot\ln x + x\cdot(\ln x)' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1 = 1 + \ln x = f(x)$$
với mọi $x \in (0; +\infty)$.

Vì $F'(x) = f(x)$ trên khoảng $(0; +\infty)$ nên $F(x) = x\ln x$ là một nguyên hàm của $f(x) = 1 + \ln x$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

b) Xét $F(x) = e^{\sin x}$ trên $\mathbb{R}$.

Ta có $F$ khả vi trên $\mathbb{R}$ và theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
$$F'(x) = e^{\sin x}\cdot(\sin x)' = e^{\sin x}\cdot\cos x$$
với mọi $x \in \mathbb{R}$.

So sánh với $f(x) = e^{\cos x}$: nói chung $e^{\sin x}\cos x \ne e^{\cos x}$. Chẳng hạn tại $x = 0$:
$$F'(0) = e^{\sin 0}\cos 0 = e^{0}\cdot 1 = 1, \qquad f(0) = e^{\cos 0} = e^{1} = e \approx 2{,}718.$$
Ta thấy $F'(0) = 1 \ne e = f(0)$.

Vì $F'(x) \ne f(x)$ (đã có một điểm $x = 0$ để $F'(0) \ne f(0)$) nên $F(x) = e^{\sin x}$ không là nguyên hàm của $f(x) = e^{\cos x}$ trên $\mathbb{R}$.

Đáp số