Giải Bài 4.2 trang 12 SGK Toán 12

Lời giải

a) $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của lũy thừa và tính chất tuyến tính:
$$\int (3x^2 + 2x - 1)\,dx = 3\cdot\dfrac{x^3}{3} + 2\cdot\dfrac{x^2}{2} - x + C = x^3 + x^2 - x + C.$$
*Kiểm tra:* $(x^3 + x^2 - x + C)' = 3x^2 + 2x - 1$ (đúng).

b) $f(x) = x^3 - x$.
$$\int (x^3 - x)\,dx = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{x^2}{2} + C.$$
*Kiểm tra:* $\left(\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{x^2}{2} + C\right)' = x^3 - x$ (đúng).

c) $f(x) = (2x+1)^2$.

Khai triển: $(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$. Khi đó
$$\int (4x^2 + 4x + 1)\,dx = 4\cdot\dfrac{x^3}{3} + 4\cdot\dfrac{x^2}{2} + x + C = \dfrac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C.$$
*Kiểm tra:* $\left(\dfrac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C\right)' = 4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2$ (đúng).

d) $f(x) = \left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^2$ (với $x \neq 0$).

Khai triển: $\left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = 4x^2 - 2\cdot 2x\cdot\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 4x^2 - 4 + \dfrac{1}{x^2}$. Khi đó
$$\int \left(4x^2 - 4 + \dfrac{1}{x^2}\right)dx = 4\cdot\dfrac{x^3}{3} - 4x + \left(-\dfrac{1}{x}\right) + C = \dfrac{4x^3}{3} - 4x - \dfrac{1}{x} + C.$$
*Kiểm tra:* $\left(\dfrac{4x^3}{3} - 4x - \dfrac{1}{x} + C\right)' = 4x^2 - 4 + \dfrac{1}{x^2} = \left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^2$ (đúng).

Đáp số