Giải Bài 4.3 trang 12 SGK Toán 12

Lời giải

a) $\displaystyle\int \left(3\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\mathrm{d}x$

Đổi về lũy thừa: $3\sqrt{x}=3x^{\frac12}$ và $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac13}$.

$$\int \left(3x^{\frac12} + x^{-\frac13}\right)\mathrm{d}x = 3\cdot\dfrac{x^{\frac32}}{\frac32} + \dfrac{x^{\frac23}}{\frac23} + C = 2x^{\frac32} + \dfrac{3}{2}x^{\frac23} + C.$$

Vậy kết quả là $2x\sqrt{x} + \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{x^{2}} + C$.

b) $\displaystyle\int \sqrt{x}\left(7x^2 - 3\right)\mathrm{d}x \ (x>0)$

Nhân phân phối: $\sqrt{x}\left(7x^2-3\right)=7x^{\frac52}-3x^{\frac12}$.

$$\int \left(7x^{\frac52}-3x^{\frac12}\right)\mathrm{d}x = 7\cdot\dfrac{x^{\frac72}}{\frac72} - 3\cdot\dfrac{x^{\frac32}}{\frac32} + C = 2x^{\frac72} - 2x^{\frac32} + C.$$

Vậy kết quả là $2x^{3}\sqrt{x} - 2x\sqrt{x} + C$.

c) $\displaystyle\int \dfrac{(2x+1)^2}{x^2}\,\mathrm{d}x$

Khai triển tử số rồi chia: $\dfrac{(2x+1)^2}{x^2}=\dfrac{4x^2+4x+1}{x^2}=4+\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}$.

$$\int \left(4+\dfrac{4}{x}+x^{-2}\right)\mathrm{d}x = 4x + 4\ln|x| + \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = 4x + 4\ln|x| - \dfrac{1}{x} + C.$$

d) $\displaystyle\int \left(2^x + \dfrac{3}{x^2}\right)\mathrm{d}x$

Dùng $\displaystyle\int a^x\,\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$ và $\dfrac{3}{x^2}=3x^{-2}$.

$$\int \left(2^x + 3x^{-2}\right)\mathrm{d}x = \dfrac{2^x}{\ln 2} + 3\cdot\dfrac{x^{-1}}{-1} + C = \dfrac{2^x}{\ln 2} - \dfrac{3}{x} + C.$$

Đáp số