Giải Hoạt động 1 trang 14 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tính diện tích $S$ khi $t = 4$.

Hình $T$ là hình thang vuông có hai cạnh song song (hai đáy) là hai đoạn thẳng đứng nằm trên $x = 1$ và $x = 4$, đường cao là khoảng cách giữa hai đường thẳng đứng đó.

- Đáy tại $x = 1$: $y = 1 + 1 = 2$.
- Đáy tại $x = 4$: $y = 4 + 1 = 5$.
- Đường cao: $4 - 1 = 3$.

Diện tích:
$$S = \dfrac{(2 + 5)\cdot 3}{2} = \dfrac{21}{2} = 10{,}5.$$

b) Tính diện tích $S(t)$ với $t \in [1; 4]$.

Tương tự, hình thang vuông có:
- Đáy tại $x = 1$: $y = 2$.
- Đáy tại $x = t$: $y = t + 1$.
- Đường cao: $t - 1$.

Do đó:
$$S(t) = \dfrac{\big(2 + (t+1)\big)(t-1)}{2} = \dfrac{(t+3)(t-1)}{2} = \dfrac{t^2 + 2t - 3}{2} = \dfrac{t^2}{2} + t - \dfrac{3}{2}.$$

c) Chứng minh $S(t)$ là một nguyên hàm của $f(t) = t + 1$ và $S = S(4) - S(1)$.

Đạo hàm của $S(t)$:
$$S'(t) = \left(\dfrac{t^2}{2} + t - \dfrac{3}{2}\right)' = t + 1 = f(t), \quad \forall t \in [1; 4].$$

Vậy $S(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(t) = t + 1$ trên $[1; 4]$.

Mặt khác:
$$S(4) = \dfrac{4^2}{2} + 4 - \dfrac{3}{2} = 8 + 4 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{21}{2}, \qquad S(1) = \dfrac{1}{2} + 1 - \dfrac{3}{2} = 0.$$

Suy ra:
$$S(4) - S(1) = \dfrac{21}{2} - 0 = \dfrac{21}{2} = S.$$

Vậy $S = S(4) - S(1)$ (đpcm).

Đáp số