Giải Hoạt động 2 trang 14 SGK Toán 12

Lời giải

a) Với $h>0$ và $x+h<2$, xét phần hình thang cong nằm giữa hai đường thẳng đứng tại hoành độ $x$ và $x+h$; phần này có diện tích đúng bằng $S(x+h)-S(x)$.

Vì hàm $y=x^2$ đồng biến trên $[1;2]$ nên trên đoạn $[x;x+h]$ giá trị nhỏ nhất của $y$ là $x^2$ (tại đầu mút trái) và giá trị lớn nhất là $(x+h)^2$ (tại đầu mút phải).

- Hình chữ nhật nhỏ $MNPQ$ có đáy $MN=h$, chiều cao $x^2$, nên diện tích là $x^2\,h$.
- Hình chữ nhật lớn $MNEF$ có đáy $MN=h$, chiều cao $(x+h)^2$, nên diện tích là $(x+h)^2\,h$.

Phần hình thang cong chứa hình chữ nhật nhỏ và nằm trong hình chữ nhật lớn, do đó:
$$x^2\,h \le S(x+h)-S(x) \le (x+h)^2\,h.$$

Chia cả ba vế cho $h>0$:
$$x^2 \le \frac{S(x+h)-S(x)}{h} \le (x+h)^2.$$

Trừ $x^2$ vào ba vế và lưu ý $(x+h)^2-x^2 = 2xh+h^2$:
$$0 \le \frac{S(x+h)-S(x)}{h} - x^2 \le 2xh+h^2. \qquad(\text{đpcm})$$

b) Với $h<0$ và $x+h>1$, xét phần hình thang cong nằm giữa hai đường thẳng đứng tại hoành độ $x+h$ và $x$; phần này có diện tích $S(x)-S(x+h)$. Độ dài đáy là $x-(x+h)=-h>0$.

Trên đoạn $[x+h;x]$, giá trị nhỏ nhất của $y$ là $(x+h)^2$, lớn nhất là $x^2$. Tương tự phần a):
$$(x+h)^2\,(-h) \le S(x)-S(x+h) \le x^2\,(-h).$$

Chia cả ba vế cho $-h>0$:
$$(x+h)^2 \le \frac{S(x)-S(x+h)}{-h} \le x^2.$$

Do $\dfrac{S(x)-S(x+h)}{-h}=\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}$ nên
$$(x+h)^2 \le \frac{S(x+h)-S(x)}{h} \le x^2.$$

Trừ $x^2$ vào ba vế:
$$2xh+h^2 \le \frac{S(x+h)-S(x)}{h} - x^2 \le 0. \qquad(\text{đpcm})$$

c) Đặt $Q=\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2$.

- Nếu $h>0$: theo a), $0\le Q\le 2xh+h^2$. Khi đó $|Q|\le 2xh+h^2 = 2x|h|+h^2$.
- Nếu $h<0$: theo b), $2xh+h^2\le Q\le 0$, nên $|Q|\le -(2xh+h^2)=-2xh-h^2 = 2x|h|-h^2 \le 2x|h|+h^2$.

Vậy với mọi $h\ne 0$:
$$\left|\frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2\right| \le 2x|h|+h^2. \qquad(\text{đpcm})$$

Khi $h\to 0$ thì $2x|h|+h^2 \to 0$, nên theo nguyên lí kẹp:
$$\lim_{h\to 0}\frac{S(x+h)-S(x)}{h}=x^2,\ \text{tức là } S'(x)=x^2,\ x\in(1;2). \qquad(\text{đpcm})$$

Kết hợp $S'(1)=1$, $S'(2)=4$ suy ra $S(x)$ là một nguyên hàm của $x^2$ trên $[1;2]$.

d) Vì $S(x)$ là một nguyên hàm của $x^2$ nên $S(x)=\dfrac{x^3}{3}+C$.

Từ $S(1)=0$: $\dfrac{1}{3}+C=0 \Rightarrow C=-\dfrac{1}{3}$. Do đó $S(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{1}{3}$.

Diện tích cần tính:
$$S=S(2)=\frac{2^3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.$$

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm tuỳ ý của $f(x)=x^2$ trên $[1;2]$, khi đó $F(x)=\dfrac{x^3}{3}+C'$. Ta có:
$$F(2)-F(1)=\left(\frac{8}{3}+C'\right)-\left(\frac{1}{3}+C'\right)=\frac{7}{3}.$$

Vậy $S=F(2)-F(1)=\dfrac{7}{3}$ (hằng số $C'$ triệt tiêu nên kết quả không phụ thuộc cách chọn nguyên hàm).

Đáp số