Giải Hoạt động 3 trang 15 SGK Toán 12

Lời giải

Vì $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$ nên với mọi $x \in [a; b]$ ta có:

$$F'(x) = f(x) \quad \text{và} \quad G'(x) = f(x).$$

Xét hàm số $H(x) = F(x) - G(x)$ trên đoạn $[a; b]$. Ta có:

$$H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0 \quad \text{với mọi } x \in [a; b].$$

Một hàm số có đạo hàm bằng $0$ trên cả đoạn thì là hàm hằng trên đoạn đó. Do đó tồn tại hằng số $C$ sao cho:

$$H(x) = F(x) - G(x) = C \quad \text{với mọi } x \in [a; b],$$

nghĩa là $F(x) = G(x) + C$.

Thay $x = b$ và $x = a$, ta được:

$$F(b) = G(b) + C, \qquad F(a) = G(a) + C.$$

Trừ vế theo vế:

$$F(b) - F(a) = \big(G(b) + C\big) - \big(G(a) + C\big) = G(b) - G(a).$$

Vậy $F(b) - F(a) = G(b) - G(a)$ (đpcm).

Đáp số