Giải Luyện tập 1 trang 16 SGK Toán 12

Lời giải

a) $\int_{0}^{1} e^{x}\,dx$

Nguyên hàm của $e^{x}$ là $e^{x}$, nên:
$$\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = \left[e^{x}\right]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1 \approx 1{,}718.$$

b) $\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}\,dx$

Nguyên hàm của $\dfrac{1}{x}$ (với $x>0$) là $\ln x$, nên:
$$\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.$$

c) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx$

Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$, nên:
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = -0 + 1 = 1.$$

d) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{dx}{\sin^{2} x}$

Nguyên hàm của $\dfrac{1}{\sin^{2} x}$ là $-\cot x$, nên:
$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^{2} x} = \left[-\cot x\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = -\cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}155.$$

Đáp số