Giải Luyện tập 2 trang 17 SGK Toán 12

Lời giải

a) $\int_{1}^{3}(2x+1)\,dx$

Hàm $f(x)=2x+1$ nhận giá trị dương trên $[1;3]$ nên tích phân bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=2x+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,\ x=3$.

Vì $y=2x+1$ là một đường thẳng nên hình đó là một hình thang vuông có:
- Hai đáy: $f(1)=2\cdot 1+1=3$ và $f(3)=2\cdot 3+1=7$.
- Chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy): $3-1=2$.

Diện tích hình thang:
$$S=\frac{(3+7)\cdot 2}{2}=\frac{10\cdot 2}{2}=10.$$

Vậy $\int_{1}^{3}(2x+1)\,dx=10$.

b) $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx$

Đặt $y=\sqrt{4-x^2}$ với $-2\le x\le 2$. Khi đó $y\ge 0$ và $y^2=4-x^2$, tức là $x^2+y^2=4$.

Đây là nửa trên (phần $y\ge 0$) của đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=2$. Do đó tích phân bằng diện tích nửa hình tròn bán kính $R=2$:
$$\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi\cdot 2^2=2\pi.$$

Vậy $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx=2\pi\approx 6{,}28$.

Đáp số