Giải Vận dụng 1 trang 17 SGK Toán 12

Lời giải

Tình huống mở đầu (Vận dụng 1). Một thân cây dài $4,8$ m được cắt thành các khúc gỗ. Người ta đo diện tích $S$ của mặt cắt ngang tại các vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng $x$ (cm), kết quả cho trong bảng (với $x$ từ $0$ đến $480$ cm, mỗi bước $60$ cm):

| $x$ (cm) | 0 | 60 | 120 | 180 | 240 | 300 | 360 | 420 | 480 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $S$ (cm²) | 240 | 248 | 256 | 260 | 264 | 272 | 298 | 316 | 320 |

Hãy tìm thể tích gần đúng của thân cây.

Bước 1. Thiết lập tích phân. Thân cây được xem là một vật thể có diện tích mặt cắt ngang là hàm $S(x)$ với $x\in[0;480]$, nên thể tích của nó là
$$V=\int_0^{480} S(x)\,dx\quad(\text{cm}^3).$$
Do ta không biết công thức của $S(x)$ mà chỉ có bảng giá trị đo được, ta tính gần đúng tích phân này bằng công thức hình thang.

Bước 2. Công thức hình thang. Chia đoạn $[0;480]$ thành $n=8$ đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài
$$h=\frac{480-0}{8}=60.$$
Gọi $y_0,y_1,\dots,y_8$ là các giá trị của $S$ tại $x=0;60;\dots;480$. Khi đó
$$V\approx \frac{h}{2}\Big[y_0+2\big(y_1+y_2+\cdots+y_7\big)+y_8\Big].$$

Bước 3. Thay số. Tổng các giá trị ở giữa:
$$y_1+y_2+\cdots+y_7=248+256+260+264+272+298+316=1914.$$
Do đó
$$V\approx \frac{60}{2}\Big[240+2\cdot 1914+320\Big]=30\big[240+3828+320\big]=30\cdot 4388=131\,640\ (\text{cm}^3).$$

Bước 4. Kết luận và đổi đơn vị.
$$V\approx 131\,640\ \text{cm}^3=0,131\,64\ \text{m}^3.$$

Kiểm tra tính hợp lí. Vì $S(x)$ tăng dần từ $240$ cm² đến $320$ cm² nên thể tích phải nằm giữa $480\cdot 240=115\,200\ \text{cm}^3$ và $480\cdot 320=153\,600\ \text{cm}^3$. Kết quả $131\,640\ \text{cm}^3$ nằm trong khoảng này nên hợp lí.

Vậy thể tích gần đúng của thân cây là $V\approx 131\,640\ \text{cm}^3=0,131\,64\ \text{m}^3.$

Đáp số