Giải Hoạt động 4 trang 17 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tính từng tích phân:

$\displaystyle\int_{0}^{1}2x\,dx=\left[x^{2}\right]_{0}^{1}=1^{2}-0^{2}=1.$

$\displaystyle 2\int_{0}^{1}x\,dx=2\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=2\cdot\frac{1}{2}=1.$

Vậy $\displaystyle\int_{0}^{1}2x\,dx=2\int_{0}^{1}x\,dx=1.$

b) Tính từng vế:

$\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^{2}+x\right)dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.$

$\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.$

Vậy $\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^{2}+x\right)dx=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{5}{6}.$

c) Tính từng vế:

$\displaystyle\int_{0}^{3}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=\frac{9}{2}.$

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{3}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{3}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}.$

Vậy $\displaystyle\int_{0}^{3}x\,dx=\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{3}x\,dx=\frac{9}{2}.$

Nhận xét: Qua ba trường hợp trên ta thấy các tính chất của tích phân:

$\displaystyle\int_{a}^{b}k\,f(x)\,dx=k\int_{a}^{b}f(x)\,dx;\quad \int_{a}^{b}\left[f(x)+g(x)\right]dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx;$

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx.$

Đáp số