Giải Luyện tập 3 trang 18 SGK Toán 12

Lời giải

a) $\displaystyle\int_{0}^{2\pi} (2x + \cos x)\,dx$

Một nguyên hàm của $2x+\cos x$ là $F(x)=x^2+\sin x$.

$$\int_{0}^{2\pi}(2x+\cos x)\,dx=\left[x^2+\sin x\right]_{0}^{2\pi}=\left(4\pi^2+\sin 2\pi\right)-\left(0+\sin 0\right)=4\pi^2\approx 39{,}478.$$

b) $\displaystyle\int_{1}^{2}\left(3^x-\dfrac{3}{x}\right)dx$

Một nguyên hàm của $3^x-\dfrac{3}{x}$ là $F(x)=\dfrac{3^x}{\ln 3}-3\ln x$ (với $x>0$).

$$\int_{1}^{2}\left(3^x-\frac{3}{x}\right)dx=\left[\frac{3^x}{\ln 3}-3\ln x\right]_{1}^{2}=\left(\frac{9}{\ln 3}-3\ln 2\right)-\left(\frac{3}{\ln 3}-0\right)=\frac{6}{\ln 3}-3\ln 2\approx 3{,}382.$$

c) $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\dfrac{1}{\cos^2 x}-\dfrac{1}{\sin^2 x}\right)dx$

Ta có $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ có nguyên hàm là $\tan x$, còn $-\dfrac{1}{\sin^2 x}$ có nguyên hàm là $\cot x$ (vì $(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$). Vậy một nguyên hàm là $F(x)=\tan x+\cot x$.

$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{\sin^2 x}\right)dx=\left[\tan x+\cot x\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}.$$

Tại $x=\dfrac{\pi}{3}$: $\tan\dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3+\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Tại $x=\dfrac{\pi}{6}$: $\tan\dfrac{\pi}{6}+\cot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3}+\sqrt3=\dfrac{4\sqrt3}{3}$.

$$\Rightarrow \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{\sin^2 x}\right)dx=\frac{4\sqrt3}{3}-\frac{4\sqrt3}{3}=0.$$

Đáp số