Giải Luyện tập 4 trang 18 SGK Toán 12

Lời giải

Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

Ta có $2x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

- Với $0 \le x \le \dfrac{3}{2}$: $2x-3 \le 0$ nên $|2x-3| = 3-2x$.
- Với $\dfrac{3}{2} \le x \le 3$: $2x-3 \ge 0$ nên $|2x-3| = 2x-3$.

Tách tích phân theo tính chất cộng của tích phân

$$\int_{0}^{3} |2x-3|\,dx = \int_{0}^{\frac{3}{2}} (3-2x)\,dx + \int_{\frac{3}{2}}^{3} (2x-3)\,dx.$$

Tính tích phân thứ nhất

$$\int_{0}^{\frac{3}{2}} (3-2x)\,dx = \left[\,3x - x^{2}\,\right]_{0}^{\frac{3}{2}} = \left(3\cdot\dfrac{3}{2} - \dfrac{9}{4}\right) - 0 = \dfrac{9}{2} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{4}.$$

Tính tích phân thứ hai

$$\int_{\frac{3}{2}}^{3} (2x-3)\,dx = \left[\,x^{2} - 3x\,\right]_{\frac{3}{2}}^{3} = (9-9) - \left(\dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2}\right) = 0 - \left(-\dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{9}{4}.$$

Kết luận

$$\int_{0}^{3} |2x-3|\,dx = \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5.$$

Kiểm tra lại đáp số: Đồ thị hàm $y=|2x-3|$ trên $[0;3]$ gồm hai đoạn thẳng, tạo thành hai tam giác vuông. Tam giác thứ nhất có hai cạnh góc vuông $\dfrac{3}{2}$ và $3$ nên diện tích $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot 3 = \dfrac{9}{4}$; tam giác thứ hai có hai cạnh góc vuông $\dfrac{3}{2}$ và $3$ nên diện tích $\dfrac{9}{4}$. Tổng diện tích $\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2}=4{,}5$, đúng bằng giá trị tích phân đã tính.

Đáp số