Giải Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12

Lời giải

Nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng ($t=6$) đến 12 giờ trưa ($t=12$) chính là giá trị trung bình của hàm số $T(t)$ trên đoạn $[6; 12]$:

$$\overline{T} = \dfrac{1}{12-6}\int_{6}^{12} T(t)\,dt = \dfrac{1}{6}\int_{6}^{12}\big[20 + 1{,}5(t-6)\big]\,dt.$$

Tìm một nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân:

$$\int \big[20 + 1{,}5(t-6)\big]\,dt = 20t + 1{,}5\cdot\dfrac{(t-6)^2}{2} = 20t + 0{,}75(t-6)^2 + C.$$

Áp dụng công thức Newton – Leibniz:

$$\int_{6}^{12}\big[20 + 1{,}5(t-6)\big]\,dt = \Big[20t + 0{,}75(t-6)^2\Big]_{6}^{12}.$$

- Tại $t=12$: $20\cdot 12 + 0{,}75\cdot(12-6)^2 = 240 + 0{,}75\cdot 36 = 240 + 27 = 267.$
- Tại $t=6$: $20\cdot 6 + 0{,}75\cdot(6-6)^2 = 120 + 0 = 120.$

Do đó

$$\int_{6}^{12}\big[20 + 1{,}5(t-6)\big]\,dt = 267 - 120 = 147.$$

Suy ra nhiệt độ trung bình:

$$\overline{T} = \dfrac{1}{6}\cdot 147 = 24{,}5\ (^\circ C).$$

Kiểm tra: Vì $T(t)$ là hàm bậc nhất (đồ thị là đường thẳng) nên giá trị trung bình của nó bằng giá trị tại trung điểm $t=9$ của đoạn $[6;12]$: $T(9) = 20 + 1{,}5\cdot(9-6) = 20 + 4{,}5 = 24{,}5\ (^\circ C)$, phù hợp với kết quả trên.

Vậy nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa vào ngày đó là $24{,}5\ ^\circ C$.

Đáp số