Giải Bài 4.8 trang 19 SGK Toán 12

Lời giải

a) $\int_{1}^{2}(2x+1)\,dx$

Xét hàm $f(x)=2x+1$. Trên đoạn $[1;2]$ ta có $f(x)>0$, nên tích phân bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=2x+1$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$.

Hình phẳng này là một hình thang vuông có:
- Hai cạnh đáy (song song, vuông góc với trục $Ox$): $f(1)=2\cdot 1+1=3$ và $f(2)=2\cdot 2+1=5$.
- Chiều cao (khoảng cách hai đáy trên trục $Ox$): $2-1=1$.

Diện tích hình thang:
$$S=\frac{(3+5)\cdot 1}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Vậy $\int_{1}^{2}(2x+1)\,dx=4.$

b) $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx$

Xét hàm $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ với $x\in[-3;3]$. Ta có $y=\sqrt{9-x^2}\ge 0$, suy ra $y^2=9-x^2$, tức $x^2+y^2=9$ với $y\ge 0$.

Đây là nửa đường tròn phía trên (ứng với $y\ge 0$) tâm $O(0;0)$, bán kính $R=3$. Vì $f(x)\ge 0$ nên tích phân bằng diện tích nửa hình tròn đó:
$$S=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi\cdot 3^2=\frac{9\pi}{2}\approx 14{,}14.$$

Vậy $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx=\dfrac{9\pi}{2}\approx 14{,}14.$

Đáp số