Giải Bài 4.10 trang 19 SGK Toán 12

Lời giải

a) $\displaystyle\int_{0}^{3}(3x-1)^2\,dx$

Đặt $u=3x-1\Rightarrow du=3\,dx$. Đổi cận: $x=0\Rightarrow u=-1$; $x=3\Rightarrow u=8$.

$$\int_{0}^{3}(3x-1)^2\,dx=\frac{1}{3}\int_{-1}^{8}u^2\,du=\frac{1}{3}\cdot\frac{u^3}{3}\Big|_{-1}^{8}=\frac{1}{9}\big(8^3-(-1)^3\big)=\frac{513}{9}=57.$$

b) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin x)\,dx$

Nguyên hàm của $1+\sin x$ là $x-\cos x$. Do đó

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin x)\,dx=\big(x-\cos x\big)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\left(\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{2}\right)-\big(0-\cos 0\big)=\left(\frac{\pi}{2}-0\right)-(0-1)=\frac{\pi}{2}+1\approx 2{,}57.$$

c) $\displaystyle\int_{0}^{1}(e^{2x}+3x^2)\,dx$

Nguyên hàm của $e^{2x}+3x^2$ là $\dfrac{1}{2}e^{2x}+x^3$. Do đó

$$\int_{0}^{1}(e^{2x}+3x^2)\,dx=\left(\frac{1}{2}e^{2x}+x^3\right)\Big|_{0}^{1}=\left(\frac{1}{2}e^{2}+1\right)-\left(\frac{1}{2}+0\right)=\frac{1}{2}e^{2}+\frac{1}{2}=\frac{e^{2}+1}{2}\approx 4{,}19.$$

d) $\displaystyle\int_{1}^{2}|2x+1|\,dx$

Với mọi $x\in[1;2]$ ta có $2x+1>0$ nên $|2x+1|=2x+1$. Do đó

$$\int_{1}^{2}|2x+1|\,dx=\int_{1}^{2}(2x+1)\,dx=\big(x^2+x\big)\Big|_{1}^{2}=(4+2)-(1+1)=6-2=4.$$

Đáp số