Giải Bài 4.11 trang 19 SGK Toán 12

Lời giải

a) Độ dịch chuyển của vật

Độ dịch chuyển được tính bởi
$$\int_{1}^{4} v(t)\,dt = \int_{1}^{4}\left(t^2 - t - 6\right)dt.$$

Một nguyên hàm của $v(t)$ là $F(t) = \dfrac{t^3}{3} - \dfrac{t^2}{2} - 6t$. Do đó
$$\int_{1}^{4}\left(t^2 - t - 6\right)dt = \left[\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t\right]_{1}^{4}.$$

Tại $t = 4$: $\dfrac{64}{3} - \dfrac{16}{2} - 24 = \dfrac{64}{3} - 32 = -\dfrac{32}{3}$.

Tại $t = 1$: $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} - 6 = -\dfrac{37}{6}$.

Vậy
$$\int_{1}^{4} v(t)\,dt = -\frac{32}{3} - \left(-\frac{37}{6}\right) = -\frac{64}{6} + \frac{37}{6} = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2} = -4{,}5\ (\text{m}).$$

Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$ là $-4{,}5$ m (vật dịch chuyển $4{,}5$ m theo chiều âm).

b) Tổng quãng đường vật đi được

Tổng quãng đường được tính bởi $\displaystyle\int_{1}^{4} |v(t)|\,dt$. Ta cần xét dấu của $v(t)$ trên đoạn $[1;4]$.

Ta có $v(t) = t^2 - t - 6 = (t-3)(t+2)$. Trên đoạn $[1;4]$ (nên $t + 2 > 0$):
- Khi $1 \le t < 3$: $t - 3 < 0$ nên $v(t) \le 0$, do đó $|v(t)| = -v(t)$.
- Khi $3 < t \le 4$: $t - 3 > 0$ nên $v(t) \ge 0$, do đó $|v(t)| = v(t)$.

Do đó
$$\int_{1}^{4} |v(t)|\,dt = -\int_{1}^{3} v(t)\,dt + \int_{3}^{4} v(t)\,dt.$$

Tính $\displaystyle\int_{1}^{3} v(t)\,dt = F(3) - F(1)$ với $F(3) = 9 - \dfrac{9}{2} - 18 = -\dfrac{27}{2}$:
$$\int_{1}^{3} v(t)\,dt = -\frac{27}{2} - \left(-\frac{37}{6}\right) = -\frac{81}{6} + \frac{37}{6} = -\frac{44}{6} = -\frac{22}{3}.$$

Tính $\displaystyle\int_{3}^{4} v(t)\,dt = F(4) - F(3)$:
$$\int_{3}^{4} v(t)\,dt = -\frac{32}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right) = -\frac{64}{6} + \frac{81}{6} = \frac{17}{6}.$$

Vậy tổng quãng đường là
$$\int_{1}^{4} |v(t)|\,dt = -\left(-\frac{22}{3}\right) + \frac{17}{6} = \frac{44}{6} + \frac{17}{6} = \frac{61}{6} \approx 10{,}17\ (\text{m}).$$

Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$ là $\dfrac{61}{6} \approx 10{,}17$ m.

Đáp số