Giải Bài 4.12 trang 19 SGK Toán 12

Lời giải

Nhận xét chung. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $x=a$ lên $x=b$ chính là
$$\Delta P = P(b)-P(a)=\int_a^b P'(x)\,dx.$$
Ta có một nguyên hàm của $P'(x)=-0{,}0005x+12{,}2$ là
$$P(x)=-0{,}0005\cdot\frac{x^2}{2}+12{,}2x=-0{,}00025x^2+12{,}2x.$$

a) Doanh số tăng từ $100$ lên $101$ đơn vị:
$$\Delta P=\int_{100}^{101}(-0{,}0005x+12{,}2)\,dx=\Big[-0{,}00025x^2+12{,}2x\Big]_{100}^{101}.$$
Tại $x=101$: $-0{,}00025\cdot 101^2+12{,}2\cdot 101=-2{,}55025+1232{,}2=1229{,}64975.$

Tại $x=100$: $-0{,}00025\cdot 100^2+12{,}2\cdot 100=-2{,}5+1220=1217{,}5.$

Do đó
$$\Delta P=1229{,}64975-1217{,}5=12{,}14975\approx 12{,}15\ (\text{triệu đồng}).$$
Vậy lợi nhuận tăng thêm khoảng $12{,}15$ triệu đồng.

b) Doanh số tăng từ $100$ lên $110$ đơn vị:
$$\Delta P=\int_{100}^{110}(-0{,}0005x+12{,}2)\,dx=\Big[-0{,}00025x^2+12{,}2x\Big]_{100}^{110}.$$
Tại $x=110$: $-0{,}00025\cdot 110^2+12{,}2\cdot 110=-3{,}025+1342=1338{,}975.$

Tại $x=100$: $1217{,}5$ (đã tính ở câu a).

Do đó
$$\Delta P=1338{,}975-1217{,}5=121{,}475\ (\text{triệu đồng}).$$
Vậy lợi nhuận tăng thêm $121{,}475$ triệu đồng.

Đáp số