Giải Bài 2.6 trang 59 SGK Toán 12

Lời giải

Ý tưởng. Ta sử dụng tính chất trung điểm: với mọi điểm $S$, nếu $M$ là trung điểm của đoạn $AC$ thì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\,\overrightarrow{SM}$; tương tự nếu $N$ là trung điểm của $BD$ thì $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\,\overrightarrow{SN}$.

a) Chứng minh tính chất trung điểm.

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, khi đó $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$. Ta có
$$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = (\overrightarrow{SM} + \overrightarrow{MA}) + (\overrightarrow{SM} + \overrightarrow{MC}) = 2\,\overrightarrow{SM} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}) = 2\,\overrightarrow{SM}.$$
Gọi $N$ là trung điểm của $BD$, hoàn toàn tương tự:
$$\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\,\overrightarrow{SN}.$$

b) Chứng minh hai chiều.

Từ hai đẳng thức trên, ta có chuỗi tương đương:
$$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \iff 2\,\overrightarrow{SM} = 2\,\overrightarrow{SN} \iff \overrightarrow{SM} = \overrightarrow{SN} \iff M \equiv N.$$

Mà $M \equiv N$ có nghĩa là trung điểm của $AC$ trùng với trung điểm của $BD$, tức là hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Đây chính là dấu hiệu nhận biết tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Vậy:
$$ABCD \text{ là hình bình hành} \iff M \equiv N \iff \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}.$$

(đpcm)

Đáp số