Giải Bài 2.7 trang 59 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích giả thiết.

Trên cạnh $SA$ có $SM = 2AM$, mà $M$ nằm giữa $S$ và $A$ nên $SA = SM + MA = 2AM + AM = 3AM$. Do đó $AM = \dfrac{1}{3}SA$, và vì $\overrightarrow{MA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{SA}$ nên
$$\overrightarrow{MA} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{SA}.$$

Trên cạnh $BC$ có $CN = 2BN$, mà $N$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $BC = BN + NC = BN + 2BN = 3BN$. Do đó $BN = \dfrac{1}{3}BC$, và vì $\overrightarrow{BN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ nên
$$\overrightarrow{BN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$$

Chèn điểm để tách vectơ $\overrightarrow{MN}$.

Áp dụng quy tắc ba điểm (chèn lần lượt hai điểm $A$ và $B$ vào giữa $M$ và $N$):
$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}.$$

Thay các kết quả đã tìm được.

$$\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}\right) + \overrightarrow{AB}.$$

Vậy $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}\right) + \overrightarrow{AB}$ (đpcm).

Đáp số