Giải Bài 2.8 trang 59 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Kí hiệu khối rubik là tứ diện đều $ABCD$. Gọi $A$ là đỉnh và mặt đối diện là $(BCD)$; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$.

Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên đường thẳng nối đỉnh $A$ với trọng tâm $G$ của mặt đối diện chính là đường cao của khối tứ diện, tức là $AG \perp (BCD)$ và độ dài $AG$ bằng chiều cao của khối rubik:
$$AG = 8 \text{ (cm)}.$$

Xác định vị trí trọng tâm $I$. Theo tính chất đã biết ở Luyện tập 8, trọng tâm $I$ của tứ diện thoả mãn
$$\overrightarrow{AI} = 3\,\overrightarrow{IG}.$$
Điều này cho thấy $I$ nằm trên đoạn $AG$ và chia đoạn đó theo tỉ số $AI : IG = 3 : 1$. Do đó
$$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IG} = 3\,\overrightarrow{IG} + \overrightarrow{IG} = 4\,\overrightarrow{IG},$$
suy ra
$$IG = \dfrac{1}{4}\,AG.$$

Tính khoảng cách. Vì $I$ nằm trên $AG$ mà $AG \perp (BCD)$ nên $IG$ chính là khoảng cách từ trọng tâm $I$ đến mặt $(BCD)$:
$$d\big(I,(BCD)\big) = IG = \dfrac{1}{4}\,AG = \dfrac{1}{4}\cdot 8 = 2 \text{ (cm)}.$$

Kết luận. Khoảng cách từ trọng tâm của khối rubik hình tứ diện đều đến một mặt của nó bằng $2$ cm.

Kiểm tra lại. Trọng tâm chia đường cao (từ đỉnh xuống trọng tâm mặt đáy) theo tỉ lệ $3:1$ tính từ đỉnh, nên khoảng cách tới đáy bằng $\tfrac14$ chiều cao: $\tfrac14\cdot 8 = 2$ cm — hợp lí.

Đáp số