Giải Bài 2.12 trang 60 SGK Toán 12

Lời giải

a) Ta biến đổi vế phải, chú ý rằng $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}$:

$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}$$

$$= \left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}\right) \cdot \overrightarrow{CD}.$$

Mà $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$ (quy tắc ba điểm).

Do đó:

$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}.$$

Vậy $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DC}$ (đpcm).

b) Chọn điểm $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$.

Khi đó theo quy tắc hiệu hai vectơ:

$$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}, \quad \overrightarrow{DB} = \vec{b} - \vec{d}, \quad \overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}.$$

Thay vào vế trái:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}$$

$$= \vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{d}) + \vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{b}).$$

Khai triển (chú ý tích vô hướng có tính giao hoán, $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$):

$$= \vec{b}\cdot\vec{d} - \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{b} - \vec{c}\cdot\vec{d} + \vec{d}\cdot\vec{c} - \vec{d}\cdot\vec{b}.$$

Các số hạng triệt tiêu từng đôi một:

- $\vec{b}\cdot\vec{d} - \vec{d}\cdot\vec{b} = 0$;
- $-\vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{b} = 0$;
- $-\vec{c}\cdot\vec{d} + \vec{d}\cdot\vec{c} = 0$.

Vậy:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \ (\text{đpcm}).$$

Đáp số