Giải Luyện tập 1 trang 62 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại điều kiện. Để lập được hệ toạ độ $Oxyz$ với ba vectơ đơn vị $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ thì ba vectơ này phải đôi một vuông góc với nhau.

Do $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CC'}$, nên ta chỉ cần kiểm tra ba vectơ $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CC'}$ có đôi một vuông góc hay không.

Xét hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$.

a) Mặt đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên hai cạnh kề tại đỉnh $C$ vuông góc với nhau:
$$CB \perp CD \;\Rightarrow\; \overrightarrow{CB} \perp \overrightarrow{CD}.$$

b) Cạnh bên $CC'$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, mà $CB$ và $CD$ nằm trong mặt đáy nên:
$$CC' \perp CB \text{ và } CC' \perp CD \;\Rightarrow\; \overrightarrow{CC'} \perp \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{CC'} \perp \overrightarrow{CD}.$$

Kết luận. Ba vectơ $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CC'}$ đôi một vuông góc, do đó ba vectơ đơn vị $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ cùng hướng với chúng cũng đôi một vuông góc. Vậy có thể lập được hệ toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với đỉnh $C$ và các vectơ $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CC'}$.

Đáp số