Giải Luyện tập 5 trang 65 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại dữ kiện Ví dụ 5. Trong không gian $Oxyz$, hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có:

$$A(1;0;2),\ B(5;0;2),\ C(9;-5;6),\ A'(5;0;1),\ B'(9;0;1),\ C'(13;-5;5).$$

Để $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp thì $ABCD$ phải là hình bình hành và các cạnh bên đôi một bằng, song song với nhau. Ta sử dụng điều kiện: hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các toạ độ tương ứng bằng nhau.

a) Xác định toạ độ điểm $D$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{BC}=(9-5;\,-5-0;\,6-2)=(4;-5;4)$.

Gọi $D(x;y;z)$, khi đó $\overrightarrow{AD}=(x-1;\,y;\,z-2)$.

Từ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ suy ra:
$$\begin{cases} x-1=4\\ y=-5\\ z-2=4 \end{cases}\;\Rightarrow\; \begin{cases} x=5\\ y=-5\\ z=6. \end{cases}$$

Vậy $D(5;-5;6)$.

b) Xác định toạ độ điểm $D'$.

Vì các cạnh bên của hình hộp bằng và song song nên $ADD'A'$ là hình bình hành, do đó $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}$.

Ta có $\overrightarrow{AA'}=(5-1;\,0-0;\,1-2)=(4;0;-1)$.

Gọi $D'(x';y';z')$, khi đó $\overrightarrow{DD'}=(x'-5;\,y'+5;\,z'-6)$.

Từ $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}$ suy ra:
$$\begin{cases} x'-5=4\\ y'+5=0\\ z'-6=-1 \end{cases}\;\Rightarrow\; \begin{cases} x'=9\\ y'=-5\\ z'=5. \end{cases}$$

Vậy $D'(9;-5;5)$.

Kiểm tra lại. Ta có $\overrightarrow{DC}=(4;0;0)=\overrightarrow{AB}$ nên $ABCD$ là hình bình hành; $\overrightarrow{D'C'}=(4;0;0)=\overrightarrow{A'B'}$ nên $A'B'C'D'$ là hình bình hành; đồng thời $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}=(4;0;-1)$. Các điều kiện đều thoả mãn, nên $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp.

Vậy $D(5;-5;6)$ và $D'(9;-5;5)$.

Đáp số