Giải Bài 2.13 trang 65 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi $d_a, d_b, d_c$ lần lượt là giá của các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$. Theo giả thiết, $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác $\vec{0}$ và $d_a, d_b, d_c$ đôi một vuông góc, tức là ba phương của $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đôi một vuông góc.

a) Lấy một điểm $O$ tuỳ ý. Qua $O$ dựng ba đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với $d_a, d_b, d_c$; ba đường thẳng này đôi một vuông góc nên chọn được chiều dương trên mỗi đường để lập thành ba trục $Ox, Oy, Oz$ của một hệ toạ độ. Khi đó các trục toạ độ lần lượt song song với giá của $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$. Vậy mệnh đề a) đúng.

b) Muốn các trục toạ độ lần lượt trùng với $d_a, d_b, d_c$ thì ba đường thẳng này phải cùng đi qua gốc toạ độ $O$, tức là phải đồng quy. Nhưng ba đường thẳng đôi một vuông góc trong không gian không nhất thiết đồng quy (chẳng hạn chúng có thể đôi một chéo nhau). Do đó không phải lúc nào cũng lập được hệ toạ độ như vậy. Mệnh đề b) sai.

c) Các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ đều có độ dài bằng $1$, trong khi $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ chỉ cần khác $\vec{0}$, độ dài tuỳ ý. Muốn $\vec{i} = \vec{a}$ thì phải có $|\vec{a}| = 1$, điều này không phải luôn đúng. Mệnh đề c) sai.

d) Lập hệ toạ độ $Oxyz$ có ba trục lần lượt cùng phương với $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ (như ở câu a). Khi đó $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt cùng phương với $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ (cùng phương cho phép cùng hướng hoặc ngược hướng nên luôn thực hiện được). Mệnh đề d) đúng.

Vậy các mệnh đề đúng là a) và d).

Đáp số